韓国語で「できる、できない」といえば、-ㄹ 수 있다/없다を思い浮かべる人は多いと思います。
もちろんそれも間違いではないのですが、他にも可能・不可能の表現はあります。
そこで「できる、できない」を表す表現で、よく使われるものを紹介していきます。
基礎文法を用いて「できる、できない」を表現する
簡単なのは「못 하다」と「-지 못하다」を使う
最も簡単なのは못/-지 못하다を使った否定文「~できない」です。

私は自転車に乗れません

すごい悲しくて最後まで見れませんでした

難しい漢字は読めないけど、簡単なものなら読めます
初級レベルでも簡単に「~できない」を表現することが可能です。
ただし못には「못 하다」と「-지 못하다」の二種類があり、それぞれ使える条件が異なります。
あらゆるニュアンスに使える「-ㄹ 수 있다/없다」
-ㄹ 수 있다はあらゆる「できる・できない」に対応した文法とも言える表現です。

勉強さえすれば、すぐ外国語ができそうな気がします

今度はいつ会えますか?

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英語ができるといった能力はもちろん、予定が空いていて「この日は会えます」といったスケジュールなどにも使えます。
ちなみに似た文法で-ㄹ 줄 알다もありますが、こちらは個人の能力や特技、すなわち「スキル」を表します。
否定文なら「~できない」のニュアンス
-ㄹ 수 있다を「없다」に変えるだけで、否定文の出来上がりです。

私はギターが弾けません

空間が狭いので乾燥機までは設置できません

身分証なしで飛行機には乗れません
スキルの有無は関係ない表現なので、条件が整わなかったり、何らかの事情で「できない」といった場合には-ㄹ 수 없다を使いましょう。
その他の「できる・できない」の表現
対応できるかを表す「되다、안 되다」
되다/안 되다でも「できる・できない」を表すことがあります。

ビッグマックの単品は(注文)できません

屋台は通常カード決済はだめです

テンジャンチゲもできますか?
注文や決済が対応可能かといったケースで되다がよく使われたりします。
漢字語の「가능하다、불가능하다」
漢字語の가능하다/불가능하다は文字通り「可能・不可能」の意味で使います。

予約が確定すると変更は不可能です
ストレートな表現ですが、その分シンプルに「できる、できない」を表すことができます。

キムチチゲも一人分もできますか?

ええ、できますよ
お店に行くと、こんな感じのやり取りをする人も結構います。
食堂に入ったら、まわりが何と言っているか聞いてみるのもいいかもしれません。
可能・不可能に関する表現はここで紹介したものを押さえておけば、大体は困らないと思います。
難しい文法を使ったものでもないので、どんどん使ってみてください。