-ㄹ까 하다は中級までに学習する重要な表現の一つです。
そのため本などにもよく出てきますが、この文法は教科書にない使い方をすることが結構あります。
そこで-ㄹ까 하다のいろんな使い方を紹介していきます。
「~しようかと思う」が基本の使い方
提案の「-ㄹ까」に하다をつなげる
提案の意味を持つ「-ㄹ까」に하다を組み合わせたものが、-ㄹ까 하다です。
-ㄹ까 하다は「~しようかと思う」と訳すことが多く、大抵の教材にもそのように書かれていると思います。

夕飯は弁当でも買ってこようかと思います

週末は映画を見に行こうかなと思います

久々にゆっくり休もうかと考えています
提案と言っても自分自身に対するもの、つまり「独り言」から形を変えた表現と思えばいいでしょう。
提案の「-ㄹ까」も同時に復習すると、よりイメージしやすくなると思います。
まだ「考え中」で決まっていない話
提案とは意見や解決策などを出すことを言いますが、-ㄹ까 하다は自分の中のある考えが出てきてた状態です。

雨が降ってるから家で映画を見ようかゲームをしようかと思います

地下鉄の駅で待ち合わせようか、それともカフェで会おうかと思います
考えは一つだけとは限らないので、選択肢が複数になることもあります。

最近中国語を習おうかどうしようか考えてます
またこの時点では「考え中」で、どうするかは決まっていません。
そのため-ㄹ까 말까にすれば、やろうかどうしようかという意味になります。
하다以外の語彙を使うこともできる
この文法の「하다」の部分には、考えている・思っているというニュアンスが含まれます。
そのため似たような意味を持つ言葉であれば、入れ替えて使うこともできます。

友達と一緒に図書館で勉強しようか考え中です

連休は釜山に旅行に行こうか考えてます

明日から朝はパンではなく、ごはんを食べようかと思ってます
-ㄹ까 싶다も-ㄹ까 하다とほぼ同じような意味としてで使えるので、覚えておくといいでしょう。
「~かと思う、~かもしれない」としても使う
もう一つの「-ㄹ까」と組み合わせる
もう一つ-ㄹ까には、気になることを表す「~だろうか」というニュアンスもありますが、これに하다が付きます。

雨が降るかもと思って、傘を持ってきました

明日もすごい寒いと思ってカイロを買いました
※핫팩=カイロ、손날로とも言う

もしかして必要かもと思って2つ用意しました
하다と組み合わせることで「~かと思う、~かもしれない」という意味になります。
こっちの-ㄹ까もあわせて復習しながら、練習してみましょう。
싶다など他の言葉を使ってもよい
これも하다の代わりに싶다など、他の語彙を使うことができます。

何かあったんじゃないだろうかと思いました

すごい辛いかもと思って、僕だけ食べませんでした

飛行機に遅れるかもしれないと思って早めに家を出てきました
하다の代わりに「보다」が入ることもありますが、ニュアンスが大きく変わるわけではありません。
また하다の代わりにどんな言葉が合うかは、話の内容にもよります。
まとめ
1.-ㄹ까 하다のニュアンスは二つ
「~しようと思う」を表現
「~~かもしれない」の意味もある
2.-ㄹ까 하다の하다を他の言葉と入れ替えてもOK
-ㄹ까 생각하다
-ㄹ까 싶다
-ㄹ까 보다
周りの人たちがどんな話し方をするのかを見ながら、少しづつ練習していくといいでしょう。