「しょうがない、仕方ない、どうしようもない」
これらはどれも、望んでいない状況に置かれたときに出てくる言葉です。
似たようなニュアンスの表現がいくつかあるわけですが、その中でもよく使いそうなものを紹介していきたいと思います。
行き詰った時、何もできない時
どうにもできなくて、しょうがなく
어쩔 수 없다には「どうしようもない、しょうがない」という意味があります。
行き詰まって前に進めないような状況、何もできない、どうにもできない時などに使います。

仕方なかったの…
言い訳にも聞こえそうですが、ドラマを見ていたらこんなセリフが出てくることはあるかもしれません。
また어쩔 수 없이で「仕方なしに、仕方なく」のニュアンスになります。

歯医者どうだったの?

予約なしでの治療はダメ、仕方なくそのまま帰って来たよ
仕方なく諦めるしかなかったような時に出くわしたら使ってみましょう。
どうしようもない「こと」には?
どうにもできないことや回避しようのない出来事、そのものを言いたい場合もあると思います。

車がいきなり割り込んできたんだよ

それで後ろにぶつかったの?

うん、どうしようもなかったんだよ

急に割り込まれたら、どうしようもなかっただろうね
こういう時には、어쩔 수 없는 일を使うといいでしょう。
어쩔 수 없이とあわせて練習してみましょう。

どうすることもできず、ただ見守るしかなかったんです
ちなみに어쩌지도 못하다でも「どうすることもできない、どうしようもない」というニュアンスになります。
それしかない時、やるしかない時
他に選択肢がない、仕方なくやる
할 수 없다も「仕方ない」という意味で使う時があります。

訓練って何をするの?

山に行って、ずっと穴掘りをするんだよ

穴掘りをずっと?

まあ命令なら仕方ないけどね
主に他に選択肢がないという状況で使うことが多いです。
やむをえず、他に方法がなかったら
がんばって別の方法を探したけど「他に手段がない、もうそれしかない」というような場面に出くわすこともあると思います。

歯茎がパンパンに腫れて仕方なく歯医者に行ってきました
할 수 없이にすれば「仕方なく、どうしようもなく」というニュアンスになります。
病院が嫌いな人も、体の調子が悪ければ、医者に診てもらうしかないでしょう。

他に方法がなくて、男性トイレに入りました
女子トイレが混雑して長蛇の列になっているというのはよくあることです。
しかしどうしても我慢できなくなったら、やむを得ず男性トイレを使用する人はいるかも?しれません。
他に方法がない時や意図しない状況になった場合
じっと耐えてがまんするしかない、あきらめるしかない
방법이 앖다は「どうしようもない」というニュアンスで使われます。

夏の暑さを避ける方法はないかな?

暑いから夏だし、どうしようもないよ
夏の暑さがどうにもならないように、諦めに近いニュアンスです。
世の中なんでも思い通りにはいかないし、我慢を強いられるようなことは何度もあるでしょう。
残念ながら、不本意ながら、意図せずに
부득이하다には「不本意だ」という意味があります。
意図していたことと違う、異なる行動を迫られた場合に使います。

雨のため体育祭は残念ながら延期になりました
いわゆる「残念ながら、不本意ながら」というニュアンスです。

意図せず、急ブレーキをかける場合がございます
やむを得ずという意味にもなりますが、高速バスに乗ればこういうアナウンスを聞くことがあると思います。
韓国で高速バスに乗る機会があったら、アナウンスに耳を傾けてみましょう。
まとめ
1.어쩔 수 없다
しょうがない
どうしようもない
2.할 수 없다
仕方ない
やむをえない
3.방법이 없다
あきらめるしかない
4.부득이하다
意図せず
やむをえず
残念ながら
実際にどれを用いるかは人によりますが、ここに出てきたことを覚えておけば、ほぼ大丈夫でしょう。